КРАТКА ГЕОМЕТРИЯ НА ТРИЪГЪЛНИКА

Книгата съдържа някои интересни теореми, твърдения и задачи, свър­зани с геометрията на триъгълника. Темите са подбрани внимателно и в нея са включени както теоретични въпроси, така и множество задачи, придружени с чертежи и подробни решения.

Част от материалите са публикувани в поредица от статии, излезли на страниците на списание „Математика“. Някои от задачите са били включ- вини по предложение ни ивтори в темите ни киндидитстудентските изпити в Софийския университет, вътрешния изпит по математика в НПМГ, дър­жавен изпит за специалност „Математика и информатика“ във ФМИ-СУ, кикто и ни редици състезпния и олимпииди по митемитики зи ученици в последните години.

Изданието е подходящо за използване в средното училище от учениците и техните учители както в редовните часове, така и в извънкласната работа при подготовката им за олимпиади и състезания по математика. То би било полезно пособие и за студенти - бъдещи учители по математика.

СЪДЪРЖАНИЕ

1     Свойства на елементите в триъгълника                                           9

1.1     Предварителни резултати............................................................... 9

1.1.1      Основни понятия................................................................. 9

1.1.2      Основни теореми ...............................................................  15

1.2     Теореми на Менелай и Чева......................................................... 22

1.2.1      Теорема на Менелай .........................................................  22

1.2.2      Теорема на Чева................................................................ 24

1.3     Следствия от теоремите на Менелай и  Чева................................ 28

1.3.1      Теорема на Ван-Обел......................................................... 28

1.3.2      Теорема на Жергон............................................................ 30

1.3.3      Още няколко интересни теореми...................................... 31

1.3.4      Теореми на Гаус................................................................. 36

1.4     Някои   забележителни точки....................................................... 37

1.4.1      Няколко основни теореми................................................. 37

1.4.2      Точка на Жергон................................................................ 42

1.4.3      Точка на Нагел.................................................................. 44

1.4.4      Изогонално изображение. Точка   на Лемоан.................... 45

2     n-прави и п-точка на триъгълника                                                      51

2.1     п-прави и п-точка.......................................................................... 51

2.2     Върху п-точка на триъгълника...................................................... 59

2.3     Педален триъгълник за п-точка.................................................... 67

3     Понятието масов център в геометрията                                           79

3.1     Масов център на система от материални точки ...........................  79

3.2     Барицентрични координати.......................................................... 81

3.2.1      Векторно представяне на точките от правата..................... 81

3.2.2      Векторно представяне на точките от равнината ...               82

3.3     Забележителни точки в триъгълника........................................... 85

3.3.1      Медицентър........................................................................ 85

3.3.2      Центрове на вписаните окръжности.................................. 86

3.3.3      п—точка на триъгълника. Точка на Лемоан..................... 87

3.3.4      Точки на Жергон и Нагел.................................................. 88

Точка на Нагел.................................................................. 89

Точка на Жергон................................................................ 89

Още някои представния на точките на Жергон и Нагел 89

3.3.5      Ортоцентър .......................................................................  91

4     Свойства на изотомичните елементи                                               95

4.1     Изотомични точки и изотомични прави.................................... 95

4.2     Изотомично спрегнати точки .....................................................  99

4.3     Изотомично спрегнати забележителни точки.............................. 102

4.4     Изогонално и изотомично изображение .....................................  108

4.4.1      Изогонално изображение................................................. 109

Двоини прави и двоини точки....................................... 113

Изогонално спрегнати точки относно триъгълник в

барицентрични координати............................... 115

4.4.2      Изотомично изображение ................................................  120

Изотомични точки за дадена отсечка - векторно пред­ставяне        124

Изотомично спрегнати точки относно триъгълник в

барицентрични координати............................... 126

Двойни точки и двойни прави.......................................... 127

Точки с безкрайни изотомични образи............................ 130

4.5     Задачи за изотомични елементи.................................................. 133

5     Връзки между ъглите в триъгълника                                              145

5.1     Единият ъгъл е два пъти по-голям от другия.............................. 145

5.2     Единият ъгъл е три пъти по-голям от другия.............................. 150

5.3     Единият ъгъл е п пъти по-голям от другия................................. 151

5.4     Други връзки между ъглите в триъгълника ...............................  153

5.5     Задачи .........................................................................................  155

6     Триъгълник и прогресия                                                                   159

6.1     Страните на триъгълника образуват прогресия.......................... 159

6.2     Още някои прогресии.................................................................. 170

Задачи           173